1$\text{Proposition 1 : } \mathbb R \text{ est archimédien}$
$\forall x \in \mathbb R \quad \exists n \in \mathbb N \quad n > x$
2$\text{Corollaire 1 : Conséquence du fait que } \mathbb R \text{ soit archimédien}$
$\forall (x, y) \in \mathbb R^2 \quad x > 0 \implies \exists n \in \mathbb N \quad y < nx$
3$\text{Théorème 1 : Théorème de la borne supérieur}$
$\text{Toute partie non-vide et majorée de } \mathbb R \text{ admet une borne supérieure}$
4$\text{Corollaire 2.a : Théorème de la borne inférieure}$
$\text{Toute partie non-vide et minorée de } \mathbb R \text{ admet une borne inférieure}$
5$\text{Corollaire 2.b : Conséquence des théorème de la borne supérieure et inférieure}$
$\text{Toute partie non-vide et bornée de } \mathbb R \text{ admet une borne supérieure et une borne inféreure}$
6$\text{Proposition 2 : Caractérisation séquentielle de la borne supérieure}$
$sup(A) = M \Longleftrightarrow \begin{cases}M \text{ est un majorant de } A \\ \exists u \in A^\mathbb N \quad \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = M\end{cases}$
7$\text{Proposition 3 : Caractérisation séquentielle d'une partie non majorée}$
$A \text{ n'est pas majorée } \Longleftrightarrow \exists u \in A^\mathbb N \quad \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty$
8$\text{Proposition 4 : } \le \text{ sur } \overline \mathbb R$
$ \le \text{ est une relation d'ordre totale sur } \overline \mathbb R$
9$\text{Corollaire 3 : Conséquence du théorème de la borne supérieure}$
$\begin{cases} \forall A \in \overline \mathbb R \quad \exists M \in \overline \mathbb R \quad sup(A) = M \\ \forall A \in \mathbb R \quad \exists M \in \mathbb R \cup \{ +\infty \} \quad sup(A) = M\end{cases}$
10$\text{Proposition 5 : Caractérisation d'un intervalle de } \mathbb R$
$A \text{ est un intervalle} \Longleftrightarrow \forall (a, b) \in A^2 \quad a \le b \implies [a, b] \subset A$
11$\text{Proposition 6 : Propriété de } \mathbb Q \text{ et } \mathbb R \setminus \mathbb Q \text{ dans } \mathbb R$
$\mathbb Q \text{ et } \mathbb R \setminus \mathbb Q \text{ sont des parties denses de } \mathbb R$
12$\text{Proposition 7 : Caractérisation séquentielle de la densité}$
$A \text{ est dense dans } \mathbb R \Longleftrightarrow \forall x \in \mathbb R \quad \exists u \in A^\mathbb N \quad \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = x$
13$\text{Corollaire 4 : Conséquence de la caractérisation séquentielle de la densité pour } \mathbb D$
$\mathbb D \text{ est dense dans } \mathbb R$