1$\text{Proposition 1 : Annulation de l'intégrale d'une fonctions positive}$
$\begin{cases} f \text{ positive } \\ a < b \\ \int_a^b f(t)dt = 0 \end{cases} \implies \forall x \in [a, b] \quad f(x) = 0$
2$\text{Proposition 2 : Vecteur normalisé}$
$\text{Pour tout vecteur } x \in E \text{ non nul},$
$\text{il existe uniquement deux vecteur unitaires collinéaires à } x : \dfrac{1}{||x||}x, -\dfrac{1}{||x||}x$
3$\text{Théorème 1 : Inégalité de Cauchy-Scharz, cas général}
$\forall (x, x') \in E^2 \quad |<x, x'>| \le ||x|| \times ||x'||$
4$\text{Théorème 1 : Inégalité de Cauchy-Scharz, cas d'égalité}
$\forall (x, x') \in E^2 \quad x // y \Longleftrightarrow |<x, x'>| = ||x|| \times ||x'||$
5$\text{Corollaire 1 : La norme est une norme...}
$<,> \text{ produit scalaire } \implies ||\cdot|| = \sqrt{<\cdot, \cdot>} \text{ norme}$
6$\text{Propriétés 1.a : Identité remarquable pour une norme}$
$\forall (x, x') \in E^2 \quad ||x + x'||^2 = ||x||^2 + 2<x, x'> + ||x'||^2$
7$\text{Propriétés 1.b : Identité du parallélogramme}$
$\forall (x, x') \in E^2 \quad ||x + x'||^2 + ||x - x'||^2 = 2||x||^2 + 2||x'||^2$
8$\text{Propriétés 1.c : Formule de polarisation}$
$\forall (x, x') \in E^2 \quad ||x + x'||^2 - ||x - x'||^2 = 4<x, x'>$
9$\text{Propriétés 2.a : Développement d'un produit scalaire}$
$< \sum_{i=1}^n x_i, \sum_{j=1}^p y_j > = \sum \limits_{\underset{1 \le j \le p}{1 \le i \le n}} <x_i, y_j>$
10$\text{Propriétés 2.b : Développement de la norme d'une somme}$
$|| \sum_{i=1}^n x_i||^2 = \sum_{i=1}^n ||x_i||^2 + 2 \sum_{1 \le i \le j \le n} <x_i, x_j>$
11$\text{Théorème 2 : Famille orthogonale libre}$
$\text{Une famille orthogonale dont tous les vecteurs sont non nuls est libre}$
12$\text{Théorème 3 : Expression des coordonnées dans une base orthogonale}$
$\forall x \in E \quad x = \sum_{i=1}^n \dfrac{<x, e_i>}{||e_i||^2} e_i$
13$\text{Proposition 3 : Expression d'un produit scalaire dans une base orthonormale}$
$\forall (x, y) \in (E^n)^2 \quad \begin{cases} <x, y> = \sum_{i=1}^n x_i y_i \\ ||x||^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 \end{cases}$