1$\text{Propriétés 1 : Propriétés de } \ln$
$\begin{cases}\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y) \\ \ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln(x) - \ln(y) \\ \ln(x^c) = c \ln(x)\end{cases}$
2$\text{Théorème 1 : Limite de } \ln
$\begin{cases}\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln(x) = -\infty \\ \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(x) = +\infty\end{cases}$
3$\text{Corollaire 1 : Bijectivité de } \ln$
$\text{La fonction } \ln \text{ est bijective}$
4$\text{Proposition 1 : Majoration de } \ln$
$\forall x \in \mathbb R^*_+ \quad \ln(x) \le x - 1$
5$\text{Théorème 2 : Propriétés de } \exp$
$\begin{cases}\exp(a+b) = \exp(a) \exp(b) \\ \exp(a-b) = \frac{\exp(a)}{\exp(b)} \\ \exp(ka) = \exp(a)^k\end{cases}$
6$\text{Proposition 2 : Dérivation, dérivée et monotonie de } \exp$
$\begin{cases}\exp \text{ est indéfinimnt dérivable sur } \mathbb R \\ \forall x \in \mathbb R \quad \exp'(x) = \exp(x) \\ \exp \text{ est strictement croissante sur } \mathbb R\end{cases}$
7$\text{Proposition 3 : Limite de } \exp$
$\begin{cases}\lim_{x \rightarrow -\infty} \exp(x) = 0 \\ \lim_{x \rightarrow +\infty} \exp(x) = +\infty\end{cases}$
8$\text{Proposition 4 : Minoration de } \exp$
$\forall x \in \mathbb R \quad e^x \ge 1 + x$
9$\text{Proposition 5 : Dérivabilité et dérivée de } u: x \mapsto x^n$
$\begin{cases} u \text{ est indéfiniment dérivable sur } \mathbb R \\ \forall x \in \mathbb R \quad u'(x) = nx^{n-1}\end{cases}$
10$\text{Proposition 6 : Dérivabilité et dérivée de } u: x \mapsto x^m$
$\begin{cases} u \text{ est indéfiniment dérivable sur } \mathbb R^* \\ \forall x \in mathbb R^* \quad u'(x) = mx^{m-1}\end{cases}$
11$\text{Propriété 2.a : Lien entre inverse et puissance}$
$x^{-\alpha} = \frac{1}{x^{\alpha}}$
12$\text{Propriété 2.b : Puissance d'un produit}$
$(xy)^{\alpha} = x^\alpha y^\alpha$
13$\text{Propriété 2.c : Somme de puissances}$
$x^{\alpha + \beta} = x^\alpha y^\beta$
14$\text{Propriété 2.d : Puissance de puissances}$
$(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}$
15$\text{Proposition 7 : Dérivabilité et dérivée de } u: x \mapsto x^\alpha$
$\begin{cases} u \text{ est indéfiniment dérivable sur } \mathbb R^+_* \\ \forall x \in \mathbb R^+_* \quad u'(x) = \alpha x^{\alpha-1}\end{cases}$
16$\text{Proposition 8 : Continuité, dérivabilité et dérivée de } u: x \mapsto \begin{cases}0 \text{ si } x = 0 \\ x^\alpha \text{ sinon}\end{cases}$
$\begin{cases} u \text{ est continue en } 0 \\ u \text{ dérivable en } 0 \Longleftrightarrow a \ge 1 \\ u'(0) = \begin{cases} 1 \text{ si } a = 1 \\ 0 \text{ si } a > 1\end{cases}\end{cases}$
17$\text{Théorème 3 : Dérivabilité et dérivées des fonctions circulaires}$
$\begin{cases}\cos, \sin \text{ et } \tan \text{ sont dérivables sur leur ensemble de définition} \\ cos' = -sin \\ sin' = cos \\ tan' = \frac{1}{cos^2} = 1 + tan^2\end{cases}$
18$\text{Théorème 4 : Les fonctions circulaires induisent des bijections}$
$\begin{cases} \cos \text{ induit une bijection de } [0, \pi] \text{ sur } [-1, 1] \\ \sin \text{ induit une bijection de } \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \text{ sur } [-1, 1] \\ \tan \text{ induit une bijection de } \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ \text{ sur } \mathbb R\end{cases}$
19$\text{Propriété 3.a : Propriété de } arccos$
$\begin{cases} arccos \text{ est strictement décroissante} \\ \forall x \in [-1, 1] \quad arccos(-x) = \pi - arccos(x)\end{cases}$
20$\text{Propriété 3.b : Propriété de } arcsin$
$\begin{cases} arcsin \text{ est strictement croissante} \\ arcsin \text{ est impaire}\end{cases}$
21$\text{Propriété 3.c : Propriété de } arctan$
$\begin{cases} arctan \text{ est strictement croissante} \\ arctan \text{ est impaire}\end{cases}$
22$\text{Propriété 4.a : Composée des fonctions circulaires réciproques par } cos$
$\begin{cases} cos \circ arccos = Id \\ cos \circ arcsin = \sqrt{1-Id^2} \\ cos \circ arctan = \frac{1}{\sqrt{1+Id^2}}\end{cases}$
23$\text{Propriété 4.b : Composée des fonctions circulaires réciproques par } sin$
$\begin{cases} sin \circ arcsin = Id \\ sin \circ arccos = \sqrt{1-Id^2} \\ sin \circ arctan = \frac{Id}{\sqrt{1+Id^2}}\end{cases}$
24$\text{Propriété 4.c : Composée de } arctan \text{ par } tan$
$tan \circ arctan = Id$
25$\text{Propriété 4.d.1 : Formule liant } arccos \text{ et } arcsin$
$arccos + arcsin = \frac{\pi}{2}$
26$\text{Propriété 4.d.2 : Formule liant } arctan(x) \text{ et } arctan\left(\frac{1}{x}\right)$
$\begin{cases}\forall x \in \mathbb R^+ \quad arctan(x) + arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} \\ \forall x \in \mathbb R^- \quad arctan(x) + arctan\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{\pi}{2}\end{cases}$
27$\text{Proposition 9 : Dérivée de arctan}$
$arctan' = \frac{1}{1 + Id^2}$
28$\text{Proposition 10.1 : Dérivabilité et dérivée de arccos}$
$\begin{cases} arccos \text{ est dérivable sur } ]-1, 1[ \\ arccos' = - \frac{1}{\sqrt{1-Id^2}}\end{cases}$
29$\text{Proposition 10.2 : Dérivabilité et dérivée de arcsin}$
$\begin{cases} arcsin \text{ est dérivable sur } ]-1, 1[ \\ arcsin' = \frac{1}{\sqrt{1-Id^2}}\end{cases}$
30$\text{Proposition 11 : Dérivabilité et dérivées de } ch \text{ et } sh$
$\begin{cases} ch \text{ et } sh \text{ sont indéfiniment dérivables} \\ ch' = sh \\ sh' = ch\end{cases}$
31$\text{Propriété 5.a : Monotonie de } ch$
$\begin{cases}ch \text{ est strictement décroissante sur } \mathbb R^- \\ ch \text{ est strictement croissante sur }\mathbb R^+\end{cases}$
32$\text{Propriété 5.b : Monotonie de } sh$
$sh \text{ est strictement croissante sur } \mathbb R$
33$\text{Propriété 5.c : Minoration de } ch$
$\forall x \in \mathbb R \quad ch(x) \ge 1$
34$\text{Propriété 5.d : Signe de } sh$
$\forall x \in \mathbb R \quad sh \text{ est du signe de } x$
35$\text{Propriétés 5.e : Limites de } ch$
$\lim_{x \rightarrow \pm\infty} ch(x) = +\infty$
36$\text{Propriétés 5.f : Limites de } sh$
$\lim_{x \rightarrow \pm\infty} sh(x) = \pm\infty$
37$\text{Propriété 6 : Formulaires de trigonométrie hyperbolique}$
$\begin{cases}ch^2 - sh^2 = 1 \\ \forall (a,b) \in \mathbb R^2 \quad \begin{cases}ch(a+b) = ch(a)ch(b) + sh(a)sh(b) \\ sh(a+b) = sh(a)ch(b) + ch(a)sh(b)\end{cases} \\ \forall x \in \mathbb R \quad ch(2x) = 2ch^2(x) - 1 = 1 + 2sh^2(x)\end{cases}$
38$\text{Proposition 12 : Dérivation et dérivée de } th$
$\begin{cases}th \text{ est indéfiniment dérivable} \\ th' = \frac{1}{ch^2} = 1 - th^2\end{cases}$
39$\text{Proposition 13 : Parité, monotonie et limites de } th$
$\begin{cases} th \text{ est impaire} \\ th \text{ est strictement croissante} \\ \lim_{x \rightarrow \pm \infty} th(x) = \pm 1\end{cases}$
40$\text{Théorème 5.1 : Injectivité / surjectivité de } ch$
$ch \text{ n'est ni injective ni surjective mais induit une bijection de } \mathbb R^+ \text{ sur } [1, +\infty]$
41$\text{Théorème 5.2 : Injectivité / surjectivité de } sh$
$sh \text{ est bijective}$
42$\text{Théorème 5.3 : Injectivité / surjectivité de } th$
$th \text{ est injective, non-surjective mais induit une bijection de } \mathbb R \text{ dans } ]-1, 1[$