1$\text{Loi de composition interne sur } E$
$\text{Application de la forme } \begin{array}{rccc}
& E^2 & \longrightarrow & E \\
& (x, y) & \longmapsto & x * y
\end{array}$
2$\text{Magma}$
$\text{Ensemble muni d'une loi de composition interne}$
3$* \text{ est une loi de composition interne associative}$
$\forall (x, y, z) \in E^3 \quad (x * y) * z = x * (y * z)$
4$* \text{ est une loi de composition interne commutative}$
$\forall (x, y) \in E^2 \quad x * y = y * x$
5$e \text{ est l'élément neutre de la loi de composition interne } *$
$\forall x \in E \quad x * e = e * x = x$
6$x \text{ est un élément symétrisable de la loi de composition interne } *$
$\exists y \in E \quad x * y = y * x = e$
7$(G, *) \text{ est un groupe}$
$\begin{cases} * \text{ est une loi de composition interne sur } G \\ * \text{ est associative} \\ * \text{ possède un élément neutre} \\ \text{Pour tout } x \in G, x \text{ est symétrisable}\end{cases}$
8$\text{Groupe abélien}$
$\text{Groupe dont la loi de composition interne est commutative}$
9$\text{Inverse dans un groupe multiplicatif}$
$\text{C'est le symétrique}$
10$\text{Opposé d'un élément } x \text{ d'un groupe additif}$
$\text{Symétrique de } x$
11$(H, *) \text{ est un sous-groupe de } (G, *)$
$\begin{cases} H \text{ est stable par } * \\ (H, *) \text{ est un groupe} \end{cases}$
12$f \text{ est un morphisme du groupe } (G, *) \text{ sur } (G', \square)$
$\forall (x, y) \in G^2 \quad f(x * y) = f(x) \square f(y)$
13$\text{Isomorphisme}$
$\text{Morphisme bijectif}$
14$\text{Endomorphisme}$
$\text{Morphisme d'un groupe sur lui-même}$
15$\text{Automorphisme}$
$\text{Isomorphisme & Endomorphisme}$
16$(G, *) \text{ est isomorphe à } (G', \square)$
$\text{Il existe un isomorphisme de } (G, *) \text{ sur } (G', \square)$
17$\text{Noyau d'un morphisme } f \text{ de } (G, x) \text{ sur } (G', \square)$
$\{x \in G | f(x) = e_{G'}\}$
18$*: E^2 \rightarrow E \text{ est distributive sur } \square: E^2 \rightarrow E$
$\forall (x, y, z) \in E^3 \quad \begin{cases} x*(y+z) = x*y + x*z \\ (x+y)*z = x*z + y*z \end{cases}$
19$(A, +, *) \text{ est un anneau}$
$\begin{cases} (A, +) \text{ est un groupe abélien} \\ * \text{ est une loi de composition interne sur } A \\ * \text{ est associative et possède un élément neutre} \\ * \text{ est distributive sur } + \end{cases}$
20$(A, +, *) \text{ est un anneau commutatif}$
$* \text{ est commutative}$
21$(A, +, *) \text{ est un anneau intègre}$
$\forall a \in A^* \quad \forall (x, y) \in A^2 \quad \begin{cases}a*x = a*y \implies x = y \\ x*a = y*a \implies x = y\end{cases}$
22$\text{Ensemble des éléments inversibles d'un anneau } (A, +, *) $
$\{x \in A | \exists y \in A \quad x*y = y*x = 1_A\}$
23$(B, +, *) \text{ est un sous-anneau de } (A, +, *)$
$\begin{cases}B \text{ est un sous-groupe de } (A, +) \\ B \text{ est stable par } * \\ 1_A \in B \end{cases}$
24$f: A \rightarrow A' \text{ est un morphisme d'anneau de } (A, +, *) \text{ sur } (A', +', *')$
$\begin{cases}\forall (x,y) \in A^2 \quad f(x + y) = f(x) +' f(y) \\ \forall (x, y) \in A^2 \quad f(x*y) = f(x)*'f(y) \\ f(1_A) = 1_{A'}\end{cases}$
25$(\mathbb K, +, *) \text{ est un corps}$
$\begin{cases}(\mathbb K, +, *) \text{ est un anneau commutatif} \\ \text{Pour tout } x \in \mathbb K^*, x \text{ inversible pour } *\end{cases}$
26$(\mathbb L, +, *) \text{ est un sous-corps de } (K, +, *)$
$\begin{cases}(\mathbb L, +, *) \text{ est un sous-anneau de l'anneau } (K, +, *) \\ \forall x \in \mathbb L^* \quad x^{-1} \in \mathbb L\end{cases}$
27$f: \mathbb K \rightarrow \mathbb K' \text{ est un morphisme de corps de } (K, +, *) \text{ sur le corps } (\mathbb K', +', *')$
$f \text{ est un morphisme d'anneau de } (\mathbb K, +, *) \text{ sur } (\mathbb K', +', *')$