3.Variab.+Stat.descr(graf e mis di sint)

Caratteristica che può assumere un valore (non necessariamente numerico) differente in una sequenza di osservazioni.
Ciò che viene osservato o misurato
Variabili:
- quantitative: misurabili ed espresse con un valore numerico
- qualitative

Variabili qualitative ordinali
Es. scala del dolore
Sono variabili ordinate secondo un artifizio di natura logica o formale in ordine crescente o decrescente. "Conta l'ordine ma non il valore esatto".
Anche se si usa una scala numerica, i numeri assegnati hanno funzione puramente descrittiva, cioè non soddisfano proprietà matematiche. Es. "avere dolore 2" non significa "avere 2x dolore1"
Variabili qualitative nominali
Es. colore degli occhi
I valori della variabile non sono ordinati ma vengono indicati mediante nomi o aggettivi

Se una variabile qualitativa può essere associata a soli due valori (es. M o F) si definisce dicotomica o binaria.

Variabili quantitative discrete:
Possono assumere solo valori specifici - di solito numeri interi - che differiscono per quantità fisse e non sono possibili valori itnermedi
Es. numero di figli, numero di pazienti visitati in un giorno
Variabili quantitative continue:
Possono assumere tutti i valori all'interno di un intervallo e la differenza tra due possibili valori può essere arbitrariamente piccola.
Es. peso, temperatura, pressione arteriosa

Talvolta si può aver bisogno di un numero minore di dettagli rispetto a quelli forniti da dati continui.
In questo caso possiamo trasformare osservazioni continue in osservazioni di altro tipo.
Es. peso alla nascita (meno di 1500 g, tra 1500 g e 2500 g, più di 2500 g); es. BMI (sottopeso, normopeso, sovrappeso, obeso).

La statistica descrittiva organizza, sintetizza le osservazioni e consente una visione d'insieme sulle caratteristiche generali di una serie di dati.
La statistica descrittva usa forme divrse: tabelle e distribuzioni di frequenza, grafici (istogrammi, diagrammi a barre, boxplot ecc.) e misure di sintesi numerica (indici di tendenza centrale e indici di dispersione).

La distribuzione di frequenza è un tipo di tabella comunemente utilizzato per rappresentare e valutare i dati.
Può essere utilizzata sia per variabili quantitative sia per variabili qualitative.

Per i dati qualitativi ordinali e nominali:
consiste in una serie di classi o categorie e nelle conte numeriche che corrispondono a ciascuna di esse

Per i dati discreti o continui:
1. scompore i valori delle osservazioni in una serie di intervalli distinti e non sovrapposti (v. come costruirla -> formula di Sturges)
2. calcolati i limiti superiore e inferiore di ciascun intervallo effettuare la conta numerica delle osservazioni comprese nell'intervallo

1. Calcolare $K$ ossia il numero di categorie (o bin, se istogramma) mediante la formula di Sturges
$K = 1+3,322(Logn)$ con $n =$numerosità campionaria.

2. Stabilire l'ampiezza ($W$) della categoria
$W = R/K$ con $R =$ range, cioè differenza tra valore massimo e valore minimo

Per ogni categoria si indica solitamente
- Frequenza assoluta, ossia numero totale delle osservazioni che hanno valore compreso in quell'intervallo. La somma delle frequenze assolute delle categorie corrisponde alla numerosità campionaria.
- Frequenza cumulativa assoluta, ossia la sommatoria delle frequenze assolute fino alla n-esima categoria

- Frequenza relativa, ossia il rapporto tra la corrispondente frequenza assoluta (numero di osservazioni per quella categoria) e il totale delle osservazioni (numerosità campionaria). Generalmente espressa in percentuale.
- Frequenza cumulativa relativa, ossia la sommatoria delle frequenze relative fino alla n-esima categoria.

Istogramma è uno dei grafici più utilizzati. Illustra una distribuzione di frequenza per variabili quantitative (discrete o continue) divise in classi (= intervalli). NB Per variabili quantitative continue si usa istogramma e poligono di frequenza, non diagramma a barre.
Sull'asse orizzontale vengono rappresentati i valori della variabile e pertanto i confini tra le classi rappresentano i limiti reali di intervalli contigui. La variabile è continua -> non devono esserci spazi tra le categorie. Questa è una differenza fondamentale con un diagramma a barre.
La frequenza associata ad ogni intervallo in un istogramma è rappresentata dall'area della barra: generalmente si usano barre con identica base (bin). Se cambia la base (ampiezza delle categorie), le aree devono seguire principi di proporzionalità per non avere confronti visivi distorti.

Si costruisce ponendo una serie di punti
- al centro di ciascun intervallo
- ad un'altezza uguale alla frequenza assoluta o relativa associata all'intervallo.
Generalmente associato a un istogramma, in questo caso i punti corrispondono ai punti medi del vertice superiore delle barre dell'istogramma.
Molto utili per il confronto di due o più serie di dati in quanto sovrapponibi - adifferenza degli istogrammi.

Tipo comune di grafico utilizzato per per illustrare una distribuzione di frequenza per dati nominali o ordinali.

In un diagramma a barre le diverse categorie in cui rientrano le osservazioni sono presentate (generalmente) lungo un asse orizzontale. Una barra verticale è tracciata al di sopra di ogni categoria e la sua altezza rappresenta la frequenza (relativa o assoluta) delle osservazioni per quella categoria.
Generalmente le categorie e le barre vengono distanziate l'una dall'altra per implicare l'assenza di continuità tra le categorie.

Si usa per variabili quantitative (discrete o continue).
Il grafico a dispersione può essere a una dimensione (utilizza un solo asse) o più spesso a due dimensioni (utilizza due assi che costituiscono uno spazio cartesiano con due variabili)

I dati sono visualizzati tramite una collezione di punti ciascuno con una posizione sull'asse orizzontale determinato da una variabile e sull'asse verticale determinato dall'altra.

Strumento descrittivo sintetico, molto utile. Richiede un solo asse.

- La scatola (box) centrale si estende dal 25esimo percentile (1°quartile, Q1) al 75esimo percentile (3° quartile, Q3)
- La linea orizzontale segna la mediana (50esimo percentile) (talvolta indicata la media con una crocetta)
- Le linee al di fuori della scatola (baffi) si estendono ai valori adiacenti che però non superino di 1,5 volte l'altezza della scatola esternamente ad ognuno dei quartili

Diagramma a torta (o a settori o circolare)
Cerchio suddiviso in porzioni la cui superficie è proporzioale alla frequenza di ogni valore della variabile.

Diagramma a linee

Cartogramma

La rappresentazione grafica dei dati è un modo utile di descrivere una serie di osservazioni, ma non è l'unico e soprattutto non consente
1. di fare affermazioni quantitative sintetiche sulla distribuzione di questi dati
2. di conftontare matematicamente i risultati di più gruppi di dati per vedere di quanto differiscano

Permettono di studiare e descrivere il "centro" di una distribuzione, ossia il punto in cui le osservazioni tendono a raccogliersi.
- Media
- Moda
- Mediana

La media può essere utilizzata per dati quantitativi, discreti e continui.
Media aritmetica: si calcola sommando tutte le osservazioni in una serie di dati e dividendo per il numero totale delle misurazioni
$\bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{N}$
Si utilizza soprattutto nel caso di distribuzioni simmetriche. Non si usa con distribuzioni asimmetriche perché i dati dei valori estremi ne condizionerebbero troppo il valore (sovra- o sottostima).

Con distribuzioni asimmetriche si utilizza:
- media geometrica $\bar{x}_{g} = \sqrt[n]{\prod x_{i}}$
- media armonica $\bar{x}_{a} =\frac{n}{\sum\frac{1}{x_i}}$

Può essere usata per dati quantitativi discreti e continui, oltreché per dati ordinali.
Definita come il cinquantesimo percentile di una serie di misurazioni. Se si dispone in ordine crescente una serie di osservazioni, metà dei valori sarà maggiore o uguale alla mediana, metà dei valori sarà minore o uguale.

Se n è dispari, la mediana è il valore centrale cioè la misurazione corrispondente a [(n+1)/2]
Se n è pari, la mediana è la media dei due valori centrali cioè tra il valore corrispondente a (n/2) e il valore corrispondente a [(n/2) + 1]

La mediana è definita robusta perché molto meno sensibile ai valori atipici (osservazioni estreme) rispetto alla media.

Può essere utilizzata per tutti i tipi di dati.
La moda di una serie di valori è l'osservazione che si verifica con maggiore frequenza.

Utile quando la distribuzione mostra vari picchi di frequenza con varie mode (possibile esistenza di "gruppi" che differiscono per i valori della variabile osservata).

Percentili: il P-esimo percentile di una variabile ordinata è il valore della variabile sotto il quale c'è il P% delle osservazioni
Es. 20-esimo percentile è il valore al di sotto del quale sta il 20% delle osservazioni
Quartili:
25° percentile = primo quartile = Q1
50° percentile = secondo quartile = Q2 = mediana
75° percentile = terzo quartile = Q3

I percentili sono utili per descrivere la forma di una distribuzione: se coppie di percentili la cui somma è 100 (es. quarantesimo e sessantesimo, trentesimo e settantesimo ecc.) sono ad uguale distanza dal punto medio la distribuzione è simmetrica

Per descrivere e analizzare una serie di osservazioni non basta considerare le misure di tendenza centrale, cioè i valori intorno ai quali tendono a raggrupparsi i rsultati emersi ma è necessario considerare quanto e in che modo le osservazioni si allontano dal valore centrale.

- Campo di variazione o range
- Campo di variazione interquartile o range interquartile
- Varianza e deviazione standard
- Coefficiente di variazione

Il range di un gruppo di misurazioni può essere definito come la differenza tra l'osservazione più grande e quella più piccola.
Range = Max - Min

Molto sensibile a valori eccezionalmente grandi o eccezionalmente piccolil pertanto di limitata utilità

Il range interquartile si calcola sottraendo il venticinquesimo percentile al settantacinquesimo percentile e comprende pertanto il 50% delle osservazioni centrali.
Range interquartile = Q3 - Q1

Questa misura è meno influenzata dai valori estremi.

La varianza misura l'entità della variabilità o dispersione dalla media delle misurazioni.
Teoricamente per misurarla matematicamente di dovrebbe usare la formula $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i -\bar{x})$
ma si può dimostrare che $\sum_{i=1}^{n} (x_i -\bar{x})$ è sempre uguale a zero (gli scarti sono in parte positivi, se valore misurato è maggiore della media, in parte negativa se valore misurato è minore della media).
Si utilizza quindi un espediente matematico cercando la media di questi scarti elevati al quadrato.

Quindi in sintesi:
la varianza è calcolata sottraendo la media da ciascuna osservazione, elevando al quadrato queste deviazioni, sommandole e dividendo per il numero totale di osservazioni -1 (gradi di libertà).
$s^2= \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n -1}$
con $(x_i - \bar{x})$ = scostamento di ciascuna osservazione $x_i$ dalla media $\bar{x}$
$n$ = numerosità campionaria e $n-1$ =gradi libertà

La deviazione standard di una serie di dati è la radice quadrata della varianza.
$s=\sqrt{s^2}$
Nelle applicazioni pratiche si utilizza più spesso la deviazione standard principalmente perché ha le stesse unità di misura della media.

Il coefficiente di variazione mette in relazione la deviazione standard di una serie di valori con la sua media: è il rapporto tra la deviazione standard e la media moltiplicato per 100.

$C.V.= \frac{\sqrt{s^2}}{\bar{x}} \times 100%$

Il coefficiente di variazione è un numero adimensionato.
Utile per confrontare la variabilità relativa tra due serie di dati.

Sono il numero di determinazioni libere meno i vincoli.

Gradi di libertà della varianza:
$s^2= \frac{\sum {(x_i - \bar{x})^2}}{N-1}$

Vincolo
$\sum{x_i-\bar{x}}= 0$
$\sum{(x_i-\bar{x})} = \sum {x_i} - \sum{\bar{x}} =\sum{x_i - n\bar{x}}=$
$=\sum{x_i} - n\frac{\sum{x_i}}{n} = 0 $