6.Verifica delle ipotesi. Generalità

Osservazione dei fenomeni porta a ipotesi di ricerca che richiedono una conferma basata su una metodologia scientifica (diventano ipotesi statistiche).

In questo modo la biostatistica si propobe l'obiettivo di guidare il clinico, il ricercatore o l'amministratore a prendere una decisione riguardo ad un parametro della popolazione dopo aver esaminato un campione di quella popolazione.

Significatività statistica: probabilità che una differenza osservata (es. tra due trattamenti farmacologici) sia diversa da zero e che non sia effetto di variazioni casuali o di bias di selezione sul campione.

La significatività statistica è una precondizione necessaria per parlare di significatività clinica.

Le implicazioni pratiche cliniche dei risultati statisticamente significativi vanno valutate su basi diverse da quelle esclusivamente statistiche.

1. Analisi dei dati e assunzioni sul modello probabilistico, sui parametri sul campione
2. Formulazione dell'ipotesi nulla $H_0$ e dell'ipotesi alternativa $H_1$
3. Costruzione della statistica test e della sua distribuzione
4. Definizione della regola di decisione e valutazione degli errori (alfa e beta)
5. Decisione statistica e decisione clinica

Analisi dei dati:
Si valuta la tipologia di dati a disposizione (che tipo di variabile si sta misurando? come è possibile sintetizzare le info ottenute?).

Assunzioni:
Il processo di verifica delle ipotesi cambia in relazione a delle assunzioni preliminari che vertono su:
- distribuzione della popolazione (Gauss, binomiale)
- varianza nota (verifica su una media)
- varianza incognita omogenea o non omogenea (confronto tra due medie)
- campioni indipendenti o appaiati

Si formula un sistema di due ipotesi
- Ipotesi nulla, $H_0$, è una ipotesi di uguaglianza
- Ipotesi alternativa, $H_1$, è una ipotesi di disuguaglianza

Il ragionamento di verifica delle ipotesi parte dal presupposto che $H_0$ sia vera per giungere al termine del processo:
o con il rifiuto di $H_0$ o con il non-rifiuto di $H_0$

Di solito l'ipotesi alternativa è quella più simile all'ipotesi di ricerca (quello che il ricercatore sta cercando di dimostrare).

Ipotesi alternativa è una ipotesi di diversità e questa diversità può essere:
- ipotesi di diversità generica $\neq$, detta anche bilaterale o bidirezionale
- ipotesi unilaterale o unidirezionale $< ; >$

Ipotesi nulla e ipotesi alternativa sono complementari ed esaustive: esauriscono tutte le possibilità riguardanti il valore del parametro.

Per verificare l'ipotesi nulla bisogna costruire una quantità matematica nota come statistica test a partire dai dati campionari.

La statistica test tiene conto dei dati campionari, della numerosità campionaria e dei parametri teorici della popolazione da stimare.

Il fatto che la varianza della popolazione sia nota o meno gioca un ruolo rilevante nel determinare quale statistica test impiegare.
- Deviazione standard della popolazione $\sigma$ è nota:
si costruisce statistica test z con $z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$
La statistica test z ha una distribuzione di Gauss standard
- Deviazione standard della popolazione $\sigma$ non è nota, si usa la deviazione standard campionaria $S$:
si costruiisce statistica test t con $t = \frac{\bar{x} - \mu}{S / \sqrt{n}}$
La statistica test t ha una distribuzione t di Student

La statistica test esita in un valore numerico casuale, uno dei possibili valori di una funzione che è la distribuzione di probabilità della statistica test.

Considerato questo valore bisogna prendere la decisione di rifiutare l'ipotesi nulla o non-rifiutare l'ipotesi nulla, sulla base di un termine di riferimento, che dipende:
- dalla distribuzione della statistica test
- dal livello di significatività, ossia il grado di errore che il ricercatore accetta a priori

Dalla distribuzione della statistica test e in relazione a un certo livello di significatività si individuano dei limiti sull'asse delle ascisse che delimitano:
- zone di rifiuto, quelle esterne ai limiti, con bassa probabilità che sia vera $H_0$
-zone di accettazione, quelle interne ai limiti, con alta probabilità che sia vera $H_0$

Il livello di significatività è inditicato con la lettera greca $\alpha$. Detto anche errore di I tipo.

Consiste nella probabilità di commettere errore RIFIUTANDO l'ipotesi nulla quando questa è vera nella popolazione.
Di solito si pone $\alpha = 0,05$

Consiste nella probabilità di commettere errore NON-Rifiutando (accettando) l'ipotesi nulla quando questa è falsa nella popolazione.

Anche $\beta$ è determinato preventivamente dall'operatore, generalmente è maggiore di $\alpha$ ma è comunque piccolo.

Il complementare di $\beta$ ossia $1 -\beta$ è chiamato potenza del test ed è la probabilità di rifiutare l'ipotesi nulla quando è vera l'ipotesi alternativa (cioè quando è falsa l'ipotesi nulla). In altre parole è la probabilità con cui il test individua differenze statisticamente significative che sono reali nella popolazione.

β è la percentuale di errore del test statistico di non riconoscere una differenza statisticamente significativa realmente presente nella popolazione.
β quindi rappresenta la percentuale di falsi negativi del test.

α è la percentuale di errore del test di vedere una differenza statisticamente significativa ma che in realtà non esiste nella popolazione.
α quindi rappresenta la percentuale di falsi positivi del test.

α e β sono tra loro legati: se si riduce il primo, aumenta il secondo e viceversa.

Per una ipotesi supposta vera (detta ipotesi nulla), il valore p esprime la probabilità di ottenere risultanti ugualmente o meno compatibili - rispetto a quelli osservati durante il test - con la suddetta ipotesi.

Durante la verifica delle ipotesi si fissa un'ipotesi nulla e un livello di significatività α
- se valore p > α l'evidenza empirica non è sufficientemente contraria all'ipotesi nulla che quindi non può essere rifiutata;
- se valore p ≤ α l'evidenza empirica è fortemente contraria all'ipotesi nulla che quindi va rifiutata. In tal caso si dice che i dati osservati sono statisticamente significativi.

Graficamente p è l'area nella coda sottesa alla curva di distribuzione di probabilità a partire dai valori di statistica test in poi v. area verde in Fig.9

- Se p < α, si può rifiutare l’ipotesi nulla;
- Se p > α, non è possibile rifiutare l’ipotesi nulla.

La grandezza dell'errore $\beta$ dipende dalla numerosità campionaria: è tanto maggiore quanto più piccolo è il campione.

Quanto maggiore è beta, minore è la potenza del test. La potenza di un test ha un impatto sulla dimensione del campione.

Es. confrontare l'altezza media dei ragazzi con quella delle ragazze. Con un campione piccolo è più probabile che nella casualità dell'estrazione campionaria si selezionino 5 ragazzi bassi e 5 ragazze alte. In questo modo non si rifiuta l'ipotesi nulla quando nella popolazione questa è falsa.
Con un campione maggiore probabilità di errore beta diminuisce.

Differenza statisticamente significativa: differenza che non può essere giustificata solo sulla base della variabilità casuale.

Differenza statisticamente non significativa non necessariamente deve essere attribuita esclusivamente al caso.
In presenza di una differenza non significativa, l'entità del campione è molto importante: con un campione piccolo errore di campionamento è maggiore -> non significatività anche quando differenza osservata non è casuale. Un risultato statisticamente non significativo quindi va considerato non conclusivo: non prova l'assenza di una differenza tra i gruppi confrontati.