DS

Ausdrücke, die einen eindeutigen Wahrheitswert besitzen.

Exklusive oder: Ist genau dann wahr, wenn genau ein von beide wahr ist.

Eine Aussage, die immer wahr ist

Die Terme sind logisch äquivalent, wenn denselben Wahrheitswert haben für jede Belegung der Variablen

wenn keine zwei Objekte der Menge gleich sind

Zusammenfassung von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten

Anzahl der Eleemente von M

(i) Aufzählen: {1, 3, 17}

(ii) Beschreiben: Menge der natürlichen Zahlen = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}

(iii) Aussondern: {x ∈ M | A(x)}

(iv) Abbilden: {f(x) | x ∈ M}

Primzahlen

ein sprachlicher Ausdruck, der Variablen enthält, und der für jede Belegung aller vorkommenden Variablen mit konkreten Objekten zu einer Aussage wird

A ∩ B = ∅

Mengen Mi, i ∈ I, in denen für alle i, j ∈ I mit i ≠ j gilt: Mi ∩ Mj = ∅.

Eine Menge P nicht-leerer, paarweise disjunkter Teilmengen von M

Bespiel: P = {{n ∈ N | n gerade}, {n ∈ N | n ungerade}} stellt eine Partition
von N mit zwei Teilen dar.

(i) Direkter Beweis: Ziel: A ⇒ B (d.h. A → B ist wahr) --> Supondo A como verdadeiro, mostramos que isso implica B verdadeiro

(ii) Kontraposition: (A → B) ⇔ (¬B → ¬A)

(iii) Widerspruch: zeigen, dass ¬A ⇒ (B ∧ ¬B) gilt und dass impliziert A ist wahr

(iv) Vollständige Induktion: Ziel: Für alle n ∈ N gilt A(n). A(n) ⇒ A(n+1) --> Nach dem Prinzip der vollständige Induktion, gilt...

Es sei f : M → N eine Abbildung:
Für jede Teilmenge X ⊆ M heißt f(X) := {f(x) | x ∈ X} das Bild von X unter f.

Es sei f : M → N eine Abbildung:

Es seien f : M → N und g : N → M Abbildungen
wenn f ◦ g = idN

f besitzt genau dann eine rechtsseitige Umkehrabbildung, wenn f surjektiv ist.

Es seien f : M → N und g : N → M Abbildungen
wenn g ◦ f = idM

f besitzt genau dann eine linksseitige Umkehrabbildung, wenn f injektiv
ist.

Es seien f : M → N und g : N → M Abbildungen
wenn g ◦ f = idM und f ◦ g = idN

f besitzt genau dann eine Umkehrabbildung, wenn f bijektiv ist

(i) f injektiv ⇔ |f(M)| = |M|

(ii) f surjektiv ⇔ |f(M)| = |N|

(iii) Ist |M| = |N| ⇔ f bijektiv

maneira de organizar ou rearranjar um conjunto de objetos, considerando a ordem específica em que eles aparecem

n-elementige Menge, n ∈ N0

Beziehungen zwischen Elementen von zwei Mengen

falls xRx für alle x ∈ M

falls nicht xRx für alle x ∈ M

falls xRy ⇒ yRx für alle x, y ∈ M

falls (xRy ∧ yRx) ⇒ x = y für alle x, y ∈ M

falls (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz für alle x, y, z ∈ M.

Eine Relation, die (R), (S) und (T) erfüllt

Eine Relation, die (R), (A) und (T) erfüllt

Eine Relation, die (R) und (T) erfüllt

eine Abbildung
M × M → M

Ein Monoid (G, •), in dem alle Elemente invertierbar sind.

kommutativ

Teilmenge de uma Menge que tem uma determinada característica.

Usando uma Äquivalenzrelation, você divide uma Menge M de forma que todos os elementos com tal característica ficam na mesma Teilmenge.

x é Repräsentant da Äquivalenzklasse [x]

Eine partielle Ordnung auf M. Eine Relation, die reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Bsp.: <=

Menge mit aller Äquivalenzklassen:

Es seien (M, •) ein Monoid mit neutralem Element e und a ∈ M.

(i) Gibt es b ∈ M mit a • b = e, ==> a rechtsinvertierbar und b rechtsinvers zu a bzw. b ein Rechtsinverses von a.
(ii) Gibt es b ∈ M mit b • a = e, ==> a linksinvertierbar und b linksinvers zu a bzw. b ein Linksinverses von a.

Ist a sowohl links- als auch rechtsinvertierbar, ==> a eine Einheit, und b ist Inverse von a

Es seien (M, •) ein Monoid mit neutralem Element e und a ∈ M

Ist a sowohl links- als auch rechtsinvertierbar, ==> a eine Einheit

Ein Monoid (G, •), in dem alle Elemente invertierbar sind

Für alle x ∈ G existiert x' ∈ G mit x • x' = e = x' • x.

Ist (M, •) ein Monoid, so ist (M^×, •) eine Gruppe. Die Gruppe (M^×, •) wird Einheitengruppe von M genannt.

eine Abbildung
M × M → M.

eine Menge mit ein oder mehreren Verknüpfungen

Die Menge aller Abbildungen von M nach N

Eine Menge R mit zwei Verknüpfungen:
+ : R × R → R, und · : R × R → R

Mit folgende Eigenschaften:
(i) (R, +) ist eine abelsche Gruppe.
(ii) (R, ·) ist ein Monoid.
(iii) Distributivgesetz

Es sei R ein Ring: R^x beziehen sich auf das Monoid (R, ·)
Menge com todos os Einheiten do Monoid (R, ·) [elementos invertíveis na direita e esquerda]

Es sei R ein kommutativer Ring.
Ein Element a ∈ R heißt Nullteiler von R, wenn b ∈ R\{0} existiert mit ab = 0.

Der Ring R heißt nullteilerfrei, wenn er keine Nullteiler außer 0 enthält.

nullteilerfrei Ring R, mit 1≠0

kommutativer Ring R, mit n 1 ≠ 0 und Einheitengruppe R^× = R\{0}

für die Menge Menge {0, 1}

Número que pode ser definido como a potência de algum número primo.
Exemplos:
7=7^1;
4=2^2

Sei K ein Körper

Menge aller Polynome über K

Polynom, in dem alle f ∈ K[X] gleich 0 sind. f = 0

−∞

großte Koeffizient in einem Polynom

Hauptkoeffizient = 1

deg(f)=1

Criar um Ring, somando e multiplicando a Menge K[X]

Ja!

wenn ein u ∈ R^× [Einheitengruppe] existiert mit a*u = b. Aus a ∼ b folgt offensichtlich a | b und b | a

Die Restklasse a besteht aus allen ganzen Zahlen, die bei Division durch n denselben Rest lassen wie a. Es gilt:
a = a + nZ = {. . . , a − 2n, a − n, a, a + n, a + 2n, . . .}.

Menge mit aller Restklassen mit n als Teiler

Beispiel:

Eine bijektive Abbildung π : A → A

Permutação na qual os elementos que não estão no Zykel ficam na mesma posição, mas o que estão trocam de lugar com o que está na direita dentro da Menge de Zykel

Simplesmente inverte a ordem

Jede Permutation π ∈ SA lässt sich als Produkt von Zykeln schreiben, deren Träger paarweise disjunkt sind.

Polinômio de grau 1 que divide outro polinômio

Knoten que estão diretamente conectados

Menge aller Nachbarn von v ∈ V

Gráfico no qual todos os Knoten estão diretamente conectados entre si

Kante que estão conectados a algum Knote

Kante e está inzident zu Knote v, caso e esteja conectado com v

Anzahl der Nachbarn von v

O mais geral de todos, no qual podem se repetir e não possui nenhuma limitação

é geschlossen, caso ele termine aonde começou

Kantenzug, in dem alle Knoten paarweise verschieden sind.

Ou seja, nenhum Knote é passado duas vezes

geschlossene Pfad.

nenhum Knoten se repete e ele termina aonde começou

geschlossener Kantenzug

Termina no mesmo lugar que começou, pode passar no mesmo Knoten mais de uma vez, mas só passa pelo mesmo Kantes uma vez no máximo

Estão em relação se estão diretamente ou indiretamente conectados

Cada subgráfico que pode ser criado dividindo um grafico a partir dos quais estão conectados

Número de Komponenten de um gráfico

Ou seja, numero de subgraficos criados a partir de um grafico, dividindo pelos quais estão conectados

Kante que se forem retirados, criariam novos Komponenten (gráficos separados)

Kreis que passa por todos os Knoten exatamente uma vez

Caminho que passa exatamente uma vez por todos os Kanten

Graph ohne Kreise

Wald no qual todos os Knoten estão diretamente ou indiretamente conectados

Knoten eines Waldes mit Grad ≤ 1

Knoten conectadas a somente um outro Knoten

Teilgraph que contem todos os Knoten e que é um Baum

Ou seja, um Teilgraph com os mesmos Knoten que o original, mas possivelmente com menos Kanten para ser um Baum