1Quelle est l’expression de la différentielle de $f(x,y,z)$ ?
$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$
2Que représente $df$ ?
La variation de $f$ lorsqu’on passe du point $M(x,y,z)$ à $M'(x+dx,y+dy,z+dz)$
3Quelle est l’expression du déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes ?
$\overrightarrow{d\ell}=\overrightarrow{MM'}=dx\,\vec{e}_x+dy\,\vec{e}_y+dz\,\vec{e}_z$
4Quelle est la définition intrinsèque du gradient d’une fonction scalaire $f$ ?
$df=\overrightarrow{\text{grad}}f\cdot\overrightarrow{d\ell}$
5Quelle est l’expression du gradient en coordonnées cartésiennes ?
$\overrightarrow{\text{grad}}f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{e}_x+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{e}_y+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e}_z$
6Que indique le vecteur $\overrightarrow{\text{grad}}f$ ?
La direction et le sens de croissance de $f$ dans l’espace
7Que signifie le caractère intrinsèque de la définition du gradient ?
Elle ne dépend pas de la base vectorielle utilisée (cartésienne, cylindrique ou sphérique)
8Qu’est-ce qu’une surface de niveau ?
Une surface définie par l’équation $f(M)=\text{cte}$
9Que vaut $df$ pour un déplacement élémentaire sur une surface de niveau ?
$df=\overrightarrow{\text{grad}}f\cdot\overrightarrow{d\ell}=0$
10Comment est le vecteur $\overrightarrow{\text{grad}}f$ par rapport aux surfaces de niveau ?
Il leur est normal
11Dans quel sens est dirigé $\overrightarrow{\text{grad}}f$ par rapport aux valeurs de $f$ ?
Suivant les valeurs croissantes de $f$
12Quelle est l’expression de $\overrightarrow{d\ell}$ en coordonnées cylindriques ?
$\overrightarrow{d\ell}=dr\,\vec{e}_r+r\,d\theta\,\vec{e}_\theta+dz\,\vec{e}_z$
13Quelle est l’expression du gradient en coordonnées cylindriques ?
$\overrightarrow{\text{grad}}f=\frac{\partial f}{\partial r}\vec{e}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{e}_\theta+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e}_z$
14Quelle est l’expression du gradient en coordonnées sphériques ?
$\overrightarrow{\text{grad}}f=\frac{\partial f}{\partial r}\vec{e}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{e}_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\vec{e}_\varphi$
15Qu’est-ce qu’un champ de gradient ?
Un champ $\vec{A}(M)$ pour lequel il existe une fonction $f$ telle que $\vec{A}(M)=\overrightarrow{\text{grad}}f$
16Quelle condition nécessaire et suffisante pour que $\vec{A}$ soit un champ de gradient ?
$df=A_xdx+A_ydy+A_zdz$ doit être une différentielle totale
17Quelles sont les conditions d’égalité des dérivées croisées pour un champ de gradient ?
$\frac{\partial A_x}{\partial y}=\frac{\partial A_y}{\partial x}$ ; $\frac{\partial A_x}{\partial z}=\frac{\partial A_z}{\partial x}$ ; $\frac{\partial A_y}{\partial z}=\frac{\partial A_z}{\partial y}$
18Quelle est la définition du potentiel scalaire $U$ dont dérive un champ de gradient $\vec{A}$ ?
$\vec{A}(M)=-\overrightarrow{\text{grad}}U(M)$ (attention au signe)
19Comment appelle-t-on les surfaces $U=\text{cte}$ ?
Des surfaces équipotentielles
20Comment sont les lignes de champ par rapport aux surfaces équipotentielles ?
Normales aux surfaces équipotentielles
21Vers quels potentiels le champ de gradient est-il dirigé ?
- Vers les potentiels décroissants
- Vers les potentiels croissants
- Vers les potentiels constants
22À quoi le potentiel $U$ est-il défini ?
À une constante additive près ($U'=U+\text{cte}$ convient aussi)
23De quoi dépend le choix de la constante additive du potentiel en physique ?
Des conditions aux limites
24Une ligne de champ de gradient peut-elle se refermer sur elle-même ?
Non, car le potentiel ne cesse de décroître le long de la ligne
25Quelle est la propriété de la circulation d’un champ de gradient ?
Elle est conservative : indépendante du chemin suivi entre $M_1$ et $M_2$
26Que vaut la circulation d’un champ $\vec{A}=-\overrightarrow{\text{grad}}U$ de $M_1$ à $M_2$ ?
$C=U(M_1)-U(M_2)$
27Quelle est la relation entre force et énergie potentielle ?
$\vec{F}=-\overrightarrow{\text{grad}}E_p$
28Quelle est la pression dans une atmosphère isotherme (gaz parfait) en fonction de l’altitude $z$ ?
$P(z)=P_0\exp\left(-\frac{Mgz}{RT}\right)$
29Quelle est la force axifuge dans l’Application 2 ?
$\vec{F}=m\omega^2 r\,\vec{e}_r$
30Quelle est la définition intrinsèque de la divergence de $\vec{A}$ ?
$\text{div}\vec{A}=\lim_{d\tau\to0}\frac{\Phi_\tau}{d\tau}=\lim_{d\tau\to0}\frac{\oiint_{S_\tau}\vec{A}\cdot d\vec{S}}{d\tau}$
31Que représente la divergence d’un champ ?
Le flux du champ par unité de volume au voisinage d’un point
32Quel est le signe de $\text{div}\vec{A}$ en un point source du champ ?
Positif
33Quel est le signe de $\text{div}\vec{A}$ en un point de convergence du champ ?
Négatif ou nul
34Quelle est l’équivalence caractérisant un champ à flux conservatif ?
$\text{div}\vec{A}=0\Leftrightarrow\vec{A}$ est à flux conservatif
35Quel est l’énoncé du théorème d’Ostrogradski ?
$\oiint_S\vec{A}\cdot d\vec{S}=\iiint_V\text{div}\vec{A}\,d\tau$
36Que permet de transformer le théorème d’Ostrogradski ?
Une intégrale de surface (flux à travers une surface fermée) en intégrale volumique
37Quelle est l’expression de la divergence en coordonnées cartésiennes ?
$\text{div}\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$
38Quelle est l’expression de la divergence en coordonnées cylindriques ?
$\text{div}\vec{A}=\frac{1}{r}\frac{\partial(rA_r)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$
39Quelle est l’expression de la divergence en coordonnées sphériques ?
$\text{div}\vec{A}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2A_r)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta A_\theta)}{\partial\theta}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial\varphi}$
40Quel est le volume élémentaire en coordonnées cartésiennes ?
$d\tau=dx\,dy\,dz$
41Quelles sont les surfaces élémentaires du cube en coordonnées cartésiennes ?
$dS_1=dx\,dy$ ; $dS_2=dx\,dz$ ; $dS_3=dy\,dz$
42Quel est le profil de vitesse dans la conduite de l’Application 3 ?
$\vec{v}(r)=v_{max}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)\vec{e}_z$
43Quel est l’énoncé du théorème de Stokes ?
$\oint_\Gamma\vec{A}\cdot d\vec{\ell}=\iint_S\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}\cdot d\vec{S}$
44Que dit le théorème de Stokes en mots ?
La circulation de $\vec{A}$ le long de $\Gamma$ est égale au flux de $\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}$ à travers $S$
45Que permet de transformer le théorème de Stokes ?
Une intégrale curviligne en intégrale de surface
46Comment doivent être orientés les vecteurs surface dans le théorème de Stokes ?
Directement par rapport au sens du contour $\Gamma$
47Quel plan est orthogonal à $\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}$ ?
Le plan dans lequel $\vec{A}$ tourne le plus
48Qu’est-ce qu’un champ irrotationnel ?
Un champ vérifiant $\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}=\vec{0}$ en tout point de l’espace
49Que vaut $\overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{\text{grad}}f)$ ?
$\vec{0}$
50Pourquoi $\overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{\text{grad}}f)=\vec{0}$ ?
Car la circulation de $\overrightarrow{\text{grad}}f$ sur tout contour fermé est nulle
51Si $\vec{A}$ est irrotationnel, que peut-on dire ?
Il existe un potentiel scalaire $f$ tel que $\vec{A}=\overrightarrow{\text{grad}}f$
52Que vaut $\text{div}(\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A})$ ?
$0$
53Quelle est l’expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes ?
$\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\vec{e}_x+\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\vec{e}_y+\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\vec{e}_z$
54Quelle est l’expression du rotationnel en coordonnées cylindriques ?
$\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}=\left(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial\theta}-\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\right)\vec{e}_r+\left(\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r}\right)\vec{e}_\theta+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial\theta}\right)\vec{e}_z$
55Quelle est l’expression du rotationnel en coordonnées sphériques ?
$\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}=\frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial(\sin\theta A_\varphi)}{\partial\theta}-\frac{\partial A_\theta}{\partial\varphi}\right)\vec{e}_r+\frac{1}{r}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\varphi}-\frac{\partial(rA_\varphi)}{\partial r}\right)\vec{e}_\theta+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\varphi$
56Quel est le champ de vitesse de la tornade pour $r\le R$ (Application 5) ?
$\vec{v}=\Omega r\,\vec{e}_\theta$
57Quel est le champ de vitesse de la tornade pour $r\ge R$ (Application 5) ?
$\vec{v}=\frac{\Omega R^2}{r}\vec{e}_\theta$
58Quelle est la définition du laplacien scalaire de $f$ ?
$\Delta f=\text{div}(\overrightarrow{\text{grad}}f)$
59Quelle est l’expression du laplacien scalaire en coordonnées cartésiennes ?
$\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$
60Quelle est l’expression du laplacien scalaire en coordonnées cylindriques ?
$\Delta f=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial\theta^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$
61Quelle est l’expression du laplacien scalaire en coordonnées sphériques ?
$\Delta f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial\varphi^2}$
62Quelle est la définition du laplacien vectoriel de $\vec{A}$ ?
$\Delta\vec{A}=\overrightarrow{\text{grad}}(\text{div}\vec{A})-\overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A})$
63Quelle est l’expression du laplacien vectoriel en coordonnées cartésiennes ?
$\Delta\vec{A}=\Delta A_x\vec{e}_x+\Delta A_y\vec{e}_y+\Delta A_z\vec{e}_z$
64Dans quels systèmes de coordonnées la décomposition du laplacien vectoriel composante par composante est-elle valable ?
- Uniquement en cartésiennes
- En cartésiennes et cylindriques
- Dans tous les systèmes
65Comment calculer le laplacien vectoriel hors coordonnées cartésiennes ?
Revenir à la définition $\overrightarrow{\text{grad}}(\text{div}\vec{A})-\overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A})$
66Quelle est l’équation de propagation du champ électrique dans l’Application 6 ?
$\Delta\vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}$
67Quel est le champ électrique de l’Application 6 ?
$\vec{E}=E_0\sin\left(\frac{\pi z}{a}\right)\cos(\omega t-kx)\vec{e}_y$
68Quelle est la définition de l’opérateur nabla en cartésiennes ?
$\vec{\nabla}=\vec{e}_x\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e}_y\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e}_z\frac{\partial}{\partial z}$
69Dans quels systèmes de coordonnées peut-on utiliser l’opérateur nabla ?
Uniquement en coordonnées cartésiennes
70Comment s’écrit le gradient avec nabla ?
$\overrightarrow{\text{grad}}f=\vec{\nabla}f$
71Comment s’écrit la divergence avec nabla ?
$\text{div}\vec{A}=\vec{\nabla}\cdot\vec{A}$
72Comment s’écrit le rotationnel avec nabla ?
$\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}=\vec{\nabla}\wedge\vec{A}$
73Comment s’écrit le laplacien scalaire avec nabla ?
$\Delta f=\nabla^2 f=\vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla}f$
74Comment s’écrit le laplacien vectoriel avec nabla ?
$\Delta\vec{A}=\nabla^2\vec{A}$
75Comment s’écrit $\text{div}(\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A})=0$ avec nabla ?
$\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\wedge\vec{A})=0$
76Comment s’écrit $\overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{\text{grad}}f)=\vec{0}$ avec nabla ?
$\vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}f)=\vec{0}$
77Quelle est la relation de $\overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A})$ ?
$\overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A})=\overrightarrow{\text{grad}}(\text{div}\vec{A})-\Delta\vec{A}$
78Que vaut $\overrightarrow{\text{grad}}(fg)$ ?
$f\,\overrightarrow{\text{grad}}g+g\,\overrightarrow{\text{grad}}f$
79Que vaut $\text{div}(f\vec{A})$ ?
$f\,\text{div}\vec{A}+\vec{A}\cdot\overrightarrow{\text{grad}}f$
80Que vaut $\text{div}(\vec{A}\wedge\vec{B})$ ?
$\vec{B}\cdot\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}-\vec{A}\cdot\overrightarrow{\text{rot}}\vec{B}$
81Que vaut $\overrightarrow{\text{rot}}(f\vec{A})$ ?
$f\,\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}+\overrightarrow{\text{grad}}f\wedge\vec{A}$