Netzwerktechnik: 11 Formeln mit Beispielen

$K = \frac{N \cdot (N - 1)}{2}$. Beispiel: $N = 10$ Knoten $\Rightarrow K = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$ Leitungen.

$T_P = \frac{L}{r}$. Beispiel: $L = 1000\,\text{Byte} = 8000\,\text{Bit}$, $r = 64\,\text{kbit/s} \Rightarrow T_P = \frac{8000}{64000} = 125\,\text{ms}$.

$T_T = T_P + T_N + T_B$. Beispiel: $T_P = 20\,\text{ms}$, $T_N = 30\,\text{ms}$, $T_B = 10\,\text{ms} \Rightarrow T_T = 60\,\text{ms}$.

$PDU = PCI + SDU$. Beispiel: TCP-Segment mit $SDU = 1460\,\text{Byte}$ Nutzdaten und $PCI = 20\,\text{Byte}$ TCP-Header $\Rightarrow PDU = 1480\,\text{Byte}$.

$\eta = \frac{r}{B}$ (Einheit $\frac{\text{bit/s}}{\text{Hz}}$). Beispiel: ADSL2+ mit $r = 24\,\text{Mbit/s}$ bei $B = 2{,}2\,\text{MHz} \Rightarrow \eta \approx 10{,}9\,\frac{\text{bit/s}}{\text{Hz}}$.

$\tau = \frac{d}{v}$ ($d$: Strecke, $v$: Ausbreitungsgeschwindigkeit, ca. $\frac{2}{3}c = 200000\,\text{km/s}$ im Medium). Beispiel: $d = 2{,}5\,\text{km} \Rightarrow \tau = \frac{2{,}5}{200000} = 12{,}5\,\mu\text{s}$, Round-Trip $2\tau = 25\,\mu\text{s}$.

$T_{\min} = 2 \cdot \tau_{\max}$. Beispiel: $\tau_{\max} = 25\,\mu\text{s} \Rightarrow T_{\min} = 50\,\mu\text{s}$.

$L_{\min} = 2 \cdot \tau_{\max} \cdot r$. Beispiel 10BaseT: $50\,\mu\text{s} \cdot 10\,\text{Mbit/s} = 500\,\text{Bit}$ (spezifiziert: 512 Bit = 64 Byte, Slot-Time $= \frac{512}{10\,\text{Mbit/s}} = 51{,}2\,\mu\text{s}$). Beispiel Fast Ethernet: $2\tau = 5{,}12\,\mu\text{s}$, $r = 100\,\text{Mbit/s} \Rightarrow L_{\min} = 512\,\text{Bit}$.

$S = G \cdot e^{-2G}$. Beispiel: $G = 0{,}5 \Rightarrow S = 0{,}5 \cdot e^{-1} \approx 0{,}184$; bei $G = 1 \Rightarrow S = e^{-2} \approx 0{,}135$.

$S_{\max} = \frac{1}{2e}$ bei $G = 0{,}5$. Beispiel: $\frac{1}{2 \cdot 2{,}718} \approx 0{,}184$, d. h. 18,4 % der Kanalkapazität nutzbar; bei $10\,\text{Mbit/s}$ also ca. $1{,}84\,\text{Mbit/s}$.

$S = G \cdot e^{-G}$. Beispiel: $G = 0{,}5 \Rightarrow S = 0{,}5 \cdot e^{-0{,}5} \approx 0{,}303$; bei $G = 1 \Rightarrow S = \frac{1}{e} \approx 0{,}368$ (Maximum).

Versuche: $\frac{G}{S} = e^{2G}$; Wiederholungen: $e^{2G} - 1$. Beispiel: $G = 0{,}5 \Rightarrow \frac{G}{S} = e \approx 2{,}72$ Versuche pro Rahmen, also ca. $1{,}72$ Wiederholungen.

Erfolg: $G \cdot e^{-G}$; leer: $P(0) = e^{-G}$; Kollision: $1 - P(0) - P(1)$. Beispiel: $G = 1 \Rightarrow 36{,}8\,\%$ Erfolg, $36{,}8\,\%$ leer, $1 - 0{,}368 - 0{,}368 = 26{,}4\,\%$ Kollisionen.

Wartezeit $= n \cdot \text{Slot-Time}$ mit $n \in \{0, \dots, \min(2^k - 1, 1023)\}$. Beispiel: $k = 3$ Kollisionen $\Rightarrow n \in \{0, \dots, 7\}$, maximale Wartezeit $7 \cdot 51{,}2\,\mu\text{s} = 358{,}4\,\mu\text{s}$.

$\eta = \frac{1}{1 + 2 \cdot r \cdot \tau_{\max} \cdot \frac{e}{L}}$. Beispiel: $r = 10\,\text{Mbit/s}$, $\tau_{\max} = 25\,\mu\text{s}$, $L = 1518\,\text{Byte} = 12144\,\text{Bit} \Rightarrow 2 \cdot r \cdot \tau_{\max} = 500$, $\eta = \frac{1}{1 + 500 \cdot 2{,}718 / 12144} \approx 0{,}90$ (bei $L = 64\,\text{Byte} = 512\,\text{Bit}$ nur $\eta \approx 0{,}27$).

$P_r = 1 - (1 - P_E)^L$. Beispiel: $P_E = 10^{-5}$, $L = 1000\,\text{Bit} \Rightarrow P_r = 1 - (1 - 10^{-5})^{1000} \approx 0{,}00995 \approx 1\,\%$.

$\eta_{SW} \approx \frac{T}{T + 2\tau}$ mit $T = \frac{L}{r}$. Beispiel: $L = 8000\,\text{Bit}$, $r = 10\,\text{Mbit/s} \Rightarrow T = 0{,}8\,\text{ms}$; $\tau = 5\,\text{ms}$ (1000 km) $\Rightarrow \eta = \frac{0{,}8}{0{,}8 + 10} \approx 0{,}074$ (7,4 %).

$2\tau \cdot r$ (Bit) bzw. $\frac{2\tau}{T}$ (Rahmen). Beispiel: $2\tau = 10\,\text{ms}$, $r = 10\,\text{Mbit/s} \Rightarrow 100000\,\text{Bit}$ gleichzeitig „im Flug“ ($= 12{,}5$ Rahmen zu je $8000\,\text{Bit}$).

$w = \frac{2\tau}{T} + 1 \approx \frac{2\tau}{T}$. Beispiel: $2\tau = 10\,\text{ms}$, $T = 0{,}8\,\text{ms} \Rightarrow w = 12{,}5 + 1 = 13{,}5 \Rightarrow w = 14$ Rahmen.

$w_S \le K - 1$ ($K$: Anzahl Sequenznummern). Beispiel: 3-Bit-Sequenznummer $\Rightarrow K = 8 \Rightarrow w_S \le 7$.

$w_S = w_R \le \lfloor \frac{K}{2} \rfloor$. Beispiel: 3-Bit-Sequenznummer $\Rightarrow K = 8 \Rightarrow w_S \le 4$.

$D_{SR} = R \cdot (1 - P_r)$; mittlere Versuche $\theta_{SR} = \frac{1}{1 - P_r}$, $D = \frac{R}{\theta}$. Beispiel: $P_r = 0{,}1$, $R = 1 \Rightarrow D_{SR} = 0{,}9$, $\theta_{SR} = \frac{1}{0{,}9} \approx 1{,}11$ Versuche pro Rahmen.

$D_{GBN} = R \cdot \frac{1 - P_r}{1 + (N - 1) \cdot P_r}$ mit $N = w_S$; mittlere Versuche $\theta_{GBN} = \frac{1 + (N-1) P_r}{1 - P_r} = 1 + \frac{N \cdot P_r}{1 - P_r}$. Beispiel: $P_r = 0{,}1$, $N = 5$, $R = 1 \Rightarrow D_{GBN} = \frac{0{,}9}{1 + 4 \cdot 0{,}1} = \frac{0{,}9}{1{,}4} \approx 0{,}643$; $\theta_{GBN} = 1 + \frac{0{,}5}{0{,}9} \approx 1{,}56$.

$D_{SW} = R \cdot (1 - P_r) \cdot \frac{T}{T + \tau_{\text{ges}}}$. Beispiel: $R = 1$, $P_r = 0{,}1$, $T = 0{,}8\,\text{ms}$, $\tau_{\text{ges}} = 10\,\text{ms} \Rightarrow D_{SW} = 0{,}9 \cdot \frac{0{,}8}{10{,}8} \approx 0{,}067$.

$N_{\text{Host}} = 2^{32 - L} - 2$. Beispiel: $L = 24 \Rightarrow 2^8 - 2 = 254$; $L = 23 \Rightarrow 2^9 - 2 = 510$; $L = 30 \Rightarrow 2^2 - 2 = 2$.

$\text{Netz-ID} = \text{IP-Adresse} \wedge \text{Subnetzmaske}$ (bitweises UND). Beispiel: $192.168.5.77 / 26$, Maske $255.255.255.192$: $77 = 01001101_2 \wedge 11000000_2 = 01000000_2 = 64 \Rightarrow$ Netz-ID $192.168.5.64$, Broadcast $192.168.5.127$.

Die ersten $L$ Bits sind 1, die restlichen $32 - L$ Bits sind 0. Beispiel: $/23 \Rightarrow 11111111.11111111.11111110.00000000 = 255.255.254.0$.

$\text{Headerlänge [Byte]} = \text{IHL} \cdot 4$. Beispiel: $\text{IHL} = 5 \Rightarrow 20\,\text{Byte}$ (Minimum); $\text{IHL} = 15 \Rightarrow 60\,\text{Byte}$ (Maximum).

$\text{Offset} = \frac{\text{Byte-Position der Nutzdaten im Original}}{8}$. Beispiel: Datagramm mit $4000\,\text{Byte}$ (20 Header + 3980 Daten), $\text{MTU} = 1500$: Fragment 1: 1480 Byte Daten, Offset 0, MF=1; Fragment 2: 1480 Byte, Offset $\frac{1480}{8} = 185$, MF=1; Fragment 3: 1020 Byte, Offset $\frac{2960}{8} = 370$, MF=0.

$2^{128} \approx 3{,}4 \cdot 10^{38}$. Beispiel: IPv4 hat nur $2^{32} \approx 4{,}3 \cdot 10^9$ Adressen, IPv6 also $2^{96} \approx 7{,}9 \cdot 10^{28}$-mal mehr.

Kosten einer Kante z. B. $c = \frac{1}{\text{Durchsatz}}$; Pfadkosten = Summe der Kantenkosten. Beispiel: Pfad A mit $10\,\text{Mbit/s}$ und $100\,\text{Mbit/s}$: $0{,}1 + 0{,}01 = 0{,}11$; Pfad B mit zweimal $100\,\text{Mbit/s}$: $0{,}02 \Rightarrow$ Pfad B wird gewählt.

$\text{MBS} = \frac{B}{1 - \frac{R}{R_{\text{in}}}}$ (aus $\text{MBS} = B + R \cdot \frac{\text{MBS}}{R_{\text{in}}}$). Beispiel: $B = 20\,\text{kByte}$, $R = 1\,\text{Mbit/s}$, $R_{\text{in}} = 4\,\text{Mbit/s} \Rightarrow \text{MBS} = \frac{20}{1 - 0{,}25} \approx 26{,}7\,\text{kByte}$.

$t_{\text{aus}} = (1 - V) \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600\,\text{s}$. Beispiel: $V = 99{,}9999\,\% \Rightarrow 10^{-6} \cdot 31{,}536 \cdot 10^6\,\text{s} \approx 31{,}5\,\text{s}$ pro Jahr; $V = 99{,}9\,\% \Rightarrow \approx 8{,}76\,\text{h}$.

$N = N_{EF} + N_{AF} + N_{BE}$ mit $N_{AF} = 4 \cdot 3$. Beispiel: $1 + 12 + 1 = 14$ Klassen.

$\text{MSS} = \text{MTU} - \text{IP-Header} - \text{TCP-Header}$. Beispiel Ethernet: $1500 - 20 - 20 = 1460\,\text{Byte}$; Beispiel PPPoE ($\text{MTU} = 1492$): $1492 - 40 = 1452\,\text{Byte}$.

$w_S = \min(w_C, w_R)$. Beispiel: $w_C = 20\,\text{MSS}$, $w_R = 8\,\text{MSS} \Rightarrow w_S = 8\,\text{MSS}$ (Empfänger ist der Engpass).

$w_C(n) = 2^n \cdot \text{MSS}$ nach $n$ RTTs (bis zur Schwelle $t_C$). Beispiel: Start $1\,\text{MSS} \Rightarrow$ nach 4 RTT: $2^4 = 16\,\text{MSS}$.

Pro ACK $+\frac{1}{w_C}\,\text{MSS}$, d. h. $w_C(n) = t_C + n\,\text{MSS}$ nach $n$ RTTs. Beispiel: $t_C = 8\,\text{MSS} \Rightarrow$ nach 3 RTT: $w_C = 11\,\text{MSS}$.

$t_C = \frac{w_S}{2}$, $w_C = t_C$. Beispiel: $w_S = 16\,\text{MSS} \Rightarrow t_C = 8\,\text{MSS}$, $w_C = 8\,\text{MSS}$, weiter in Congestion Avoidance.

SYN: $\text{Seq}=x$; SYN+ACK: $\text{Seq}=y$, $\text{Ack}=x+1$; ACK: $\text{Seq}=x+1$, $\text{Ack}=y+1$. Beispiel: $x = 100$, $y = 300$: SYN (Seq=100) $\rightarrow$ SYN+ACK (Seq=300, Ack=101) $\rightarrow$ ACK (Seq=101, Ack=301).

$\ln N$ Stufen bei $N$ Knoten. Beispiel: $N = 1000$ Knoten $\Rightarrow \ln 1000 \approx 6{,}9 \approx 7$ Hierarchiestufen.

$t_{\text{prop}} = \frac{d}{v}$. Beispiel: $d = 9200\,\text{km}$, $v = 200000\,\text{km/s} \Rightarrow t_{\text{prop}} = 46\,\text{ms}$.

$t_{\text{trans}} = \frac{L}{r}$. Beispiel: $L = 8000\,\text{Bit}$, $r = 100\,\text{Mbit/s} \Rightarrow t_{\text{trans}} = 0{,}08\,\text{ms}$.

$t_{\text{ges}} = t_{\text{pack}} + t_{\text{prop}} + t_{\text{trans}} (+ \text{Router/Puffer})$. Beispiel: $125\,\text{ms} + 46\,\text{ms} + 0{,}08\,\text{ms} = 171{,}08\,\text{ms}$ (unter $200\,\text{ms}$, aber fast nur wegen der großen Paketierung ein Problem; bei $20\,\text{ms}$-Paketen: $20 + 46 + 0{,}01 \approx 66\,\text{ms}$).

$L_{\text{Nutz}} = r_{\text{Codec}} \cdot T_{\text{Paket}}$. Beispiel G.711: $64\,\text{kbit/s} \cdot 20\,\text{ms} = 1280\,\text{Bit} = 160\,\text{Byte}$; G.723.1: $5{,}33\,\text{kbit/s} \cdot 30\,\text{ms} \approx 160\,\text{Bit} = 20\,\text{Byte}$.

$\text{Overhead} = \frac{L_{\text{Header}}}{L_{\text{Nutz}} + L_{\text{Header}}}$ mit $L_{\text{Header}} = 12 + 8 + 20 + 22 + 4 = 66\,\text{Byte}$. Beispiel G.711 ($20\,\text{ms}$): $\frac{66}{160 + 66} = \frac{66}{226} \approx 29\,\%$; G.723.1 ($30\,\text{ms}$): $\frac{66}{86} \approx 77\,\%$.

$r_{\text{real}} = \frac{L_{\text{Nutz}} + L_{\text{Header}}}{T_{\text{Paket}}}$. Beispiel G.711: $\frac{226 \cdot 8}{20\,\text{ms}} = 90{,}4\,\text{kbit/s}$; G.723.1: $\frac{86 \cdot 8}{30\,\text{ms}} \approx 22{,}93\,\text{kbit/s}$.

$r_{E1} = 32 \cdot 64\,\text{kbit/s}$ (30 Nutz- + 2 Signalisierungs-/Synchronisationskanäle). Beispiel: $32 \cdot 64\,\text{kbit/s} = 2048\,\text{kbit/s} = 2{,}048\,\text{Mbit/s}$.

$C = (P + k) \bmod 26$ (Entschlüsselung: $P = (C - k) \bmod 26$); 25 nicht-triviale Schlüssel. Beispiel: $k = 3$: HALLO $\rightarrow$ KDOOR.

Permutation mit $n$ Spalten: $n!$ Schlüssel; allgemeine monoalphabetische Substitution: $26! \approx 4 \cdot 10^{26}$. Beispiel: $n = 5$ Spalten $\Rightarrow 5! = 120$ Schlüssel. Trotz $26!$ Schlüsseln per Häufigkeitsanalyse brechbar.

$\text{Schlüssellänge} = \text{ld}(\text{Anzahl Schlüssel})$. Beispiel Enigma: $\text{ld}(1{,}6 \cdot 10^{19}) \approx 64\,\text{Bit}$; DES: $2^{56} \approx 7{,}2 \cdot 10^{16}$ Schlüssel = 56 Bit.

$H = -\sum_{i=1}^{n} P_i \cdot \text{ld}(P_i)$ [bit/Zeichen]. Beispiel: $P = (0{,}5;\ 0{,}25;\ 0{,}25) \Rightarrow H = 0{,}5 \cdot 1 + 0{,}25 \cdot 2 + 0{,}25 \cdot 2 = 1{,}5\,\text{bit/Zeichen}$.

$H_{\max} = \text{ld}(n)$ bei $P_i = \frac{1}{n}$ und statistischer Unabhängigkeit. Beispiel: deutsches Alphabet mit 27 Zeichen $\Rightarrow H_{\max} = \text{ld}(27) \approx 4{,}75\,\text{bit/Zeichen}$; binäre Quelle mit $p = 0{,}5$: $H_{\max} = 1\,\text{bit/Zeichen}$.

$R = H_{\max} - H$. Beispiel: deutscher Text mit $H_{\text{dt}} \approx 1{,}5$ und $H_{\max} \approx 4{,}75 \Rightarrow R \approx 3{,}25\,\text{bit/Zeichen}$.

$\text{Faktor} = \frac{H_{\max}}{H}$. Beispiel: deutscher Text: $\frac{4{,}75}{1{,}5} \approx 3{,}2$. Verschlüsselte Daten ($R \to 0$) sind nicht mehr komprimierbar, also erst komprimieren, dann verschlüsseln.

$H_{\text{bin}}(p) = -p \cdot \text{ld}(p) - (1-p) \cdot \text{ld}(1-p)$. Beispiel: $p = 0{,}5 \Rightarrow 1\,\text{bit/Zeichen}$ (Maximum); $p = 0{,}1 \Rightarrow 0{,}469\,\text{bit/Zeichen}$; $p = 0$ oder $1 \Rightarrow 0$.

$26^3 \cdot 3! \cdot \frac{26!}{2^{10} \cdot 10! \cdot 6!}$. Beispiel: $17576 \cdot 6 \cdot 1{,}5 \cdot 10^{14} \approx 1{,}6 \cdot 10^{19}$ Schlüssel $\Rightarrow \text{ld}(1{,}6 \cdot 10^{19}) \approx 64\,\text{Bit}$.

$C = (P + K) \bmod 26$ bzw. binär $C = P \oplus K$; Entschlüsselung $P = (C - K) \bmod 26$. Beispiel: GEHEIM $(6,4,7,4,8,12) + \text{TXFZDP}\ (19,23,5,25,3,15) \bmod 26 = (25,1,12,3,11,1) = \text{ZBMDLB}$; mit Schlüssel FOUVYO $(5,14,20,21,24,14)$ ergibt derselbe Geheimtext UNSINN.

$L_i = R_{i-1}$ und $R_i = L_{i-1} \oplus f(R_{i-1}, K_i)$; Entschlüsselung mit $K_{16} \dots K_1$. Beispiel: 64-Bit-Block $\rightarrow$ $L_0, R_0$ je 32 Bit, 16 Runden.

$f(R, K_i)$: $E$: $32 \to 48$ Bit, XOR mit $K_i$ (48 Bit), 8 S-Boxen mit je $6 \to 4$ Bit, Permutation $P$. Beispiel: $8 \cdot 6 = 48$ Bit rein, $8 \cdot 4 = 32$ Bit raus.

$64 - 8\ (\text{Parity}) = 56$ Bit $\rightarrow$ $C_0, D_0$ je 28 Bit, zyklisches Linksschieben, Kompressions-Permutation 2 $\rightarrow$ $K_i$ mit 48 Bit. Beispiel: 16 Runden $\Rightarrow 16$ Schlüssel $K_1 \dots K_{16}$ à 48 Bit.

Brute Force $2^{56} \approx 7{,}2 \cdot 10^{16}$; Known-Plaintext (diff. Kryptoanalyse) $2^{55}$; Chosen-Plaintext $2^{47}$. Beispiel: bei $10^9$ Schlüsseln/s dauert $2^{56}$ Brute Force ca. $7{,}2 \cdot 10^7\,\text{s} \approx 2{,}3$ Jahre auf einem Rechner.

$C = \text{DES}_{k_1}(\text{DES}^{-1}_{k_2}(\text{DES}_{k_1}(P)))$; nominal $3 \cdot 56 = 168$ Bit, effektiv wegen Meet-in-the-Middle nur $112$ Bit. Beispiel: 2-Schlüssel-Variante mit $k_1 = k_3$.

$C_i = E_K(P_i \oplus C_{i-1})$, $C_0 = IV$; $P_i = D_K(C_i) \oplus C_{i-1}$. Beispiel: $P_1 = P_2$ ergibt wegen unterschiedlichem $C_{i-1}$ verschiedene Geheimtextblöcke (bei ECB identische).

Bitfehler in $C_i$ zerstört $P_i$ komplett (Lawineneffekt) und verfälscht $P_{i+1}$ an exakt derselben Bitposition; $P_{i+2}$ ist wieder korrekt. Beispiel: Fehler an Bitposition 5 in $C_3$ $\Rightarrow$ $P_3$ komplett falsch, $P_4$ nur Bit 5 falsch.

OFB: $O_i = E_K(O_{i-1})$, $O_0 = IV$, $C_i = P_i \oplus O_i$. CFB: $C_i = P_i \oplus E_K(C_{i-1})$, $C_0 = IV$. CTR: $C_i = P_i \oplus E_K(\text{Nonce} \parallel \text{Counter}_i)$. Beispiel Fehler: OFB/CTR: 1 Bitfehler im Chiffrat = 1 Bitfehler im Klartext; CFB: 1 Bit im aktuellen und ca. 50 % im nächsten Block.

$C = P \oplus K_S$; bekanntes Paar liefert $K_S = P \oplus C$; bei Wiederverwendung $C_1 \oplus C_2 = P_1 \oplus P_2$. Beispiel: $P = 1010$, $K_S = 0110 \Rightarrow C = 1100$; $P \oplus C = 0110 = K_S$.

Registerlängen $19 + 22 + 23 = 64$ Bit; nur Register, deren Clocking Bit der Mehrheit entspricht, werden getaktet (Wkt. pro Register $\frac{3}{4}$). Beispiel: Clocking Bits $(1, 0, 1) \Rightarrow$ Mehrheit 1 $\Rightarrow$ Register 1 und 3 werden getaktet, Register 2 nicht.

$(a \cdot a^{-1}) \bmod n = 1$; existiert für alle $a \ne 0$ genau dann, wenn $n$ prim ist (allgemein: $\text{ggT}(a, n) = 1$). Beispiel $\mathbb{Z}_5^*$: $1^{-1} = 1$, $2^{-1} = 3$ ($2 \cdot 3 = 6 \equiv 1$), $3^{-1} = 2$, $4^{-1} = 4$ ($16 \equiv 1$).

$\text{GF}(2) = (\{0,1\}, \oplus, \wedge)$; Addition = XOR, Multiplikation = UND. Beispiel: $1 \oplus 1 = 0$ (additives Inverses von 1 ist 1), $1 \wedge 1 = 1$ (multiplikatives Inverses von 1 ist 1).

$s^{p-1} \bmod p = 1$ bzw. $s^p \bmod p = s$ für Primzahl $p$; im Exponenten wird $\bmod (p-1)$ gerechnet. Beispiel: $3^4 \bmod 5 = 81 \bmod 5 = 1$; $3^9 \bmod 5 = 3^{9 \bmod 4} = 3^1 = 3$.

$a^x \bmod n$ durch fortgesetztes Quadrieren, z. B. $a^5 = ((a^2)^2) \cdot a$, jeweils $\bmod n$. Beispiel: $543^{16} \bmod 719$: $543^2 \equiv 59$, $59^2 \equiv 605$, $605^2 \equiv 54$, $54^2 \equiv 40 \Rightarrow 543^{16} \bmod 719 = 40$.

Wenn $s^1, \dots, s^{p-1} \bmod p$ alle $p-1$ Elemente erzeugen; nur dann ist $y = s^x \bmod p$ bijektiv und $x = \text{Dlog}_s(y)$ eindeutig. Beispiel: $s = 3$ in $\mathbb{Z}_5^*$: $3, 4, 2, 1$ $\Rightarrow$ Generator; $s = 3$ in $\mathbb{Z}_7^*$: $3, 2, 6, 4, 5, 1$ $\Rightarrow$ Generator.

$A = s^a \bmod p$, $B = s^b \bmod p$, $k = B^a \bmod p = A^b \bmod p = s^{a \cdot b} \bmod p$. Beispiel: $p = 11$, $s = 6$, $a = 7$, $b = 4$: $A = 6^7 \bmod 11 = 8$, $B = 6^4 \bmod 11 = 9$, $k = 9^7 \bmod 11 = 8^4 \bmod 11 = 4$.

$k = B^a \bmod p$. Beispiel: $p = 719$, $s = 3$, $A = 191$, $B = 543$, $a = 16$ (Kontrolle: $3^{16} \bmod 719 = 191$ ✓) $\Rightarrow k = 543^{16} \bmod 719 = 40$. Hinweis: Die Folien nennen $k = 59$, das ist aber nur $543^2 \bmod 719$, nachgerechnet ergibt sich 40.

$\phi(p) = p - 1$ und $\phi(p \cdot q) = (p-1)(q-1)$. Beispiel: $\phi(7) = 6$; $p = 5$, $q = 13 \Rightarrow \phi(65) = 4 \cdot 12 = 48$.

$m^{\phi(n)} \bmod n = 1$ für $\text{ggT}(m,n) = 1$; daraus $m^{r \cdot \phi(n) + 1} \bmod n = m$. Beispiel: $m = 2$, $n = 15$, $\phi(15) = 8$: $2^8 = 256 \equiv 1 \bmod 15$.

$n = p \cdot q$, $\phi(n) = (p-1)(q-1)$, $\text{ggT}(e, \phi(n)) = 1$, $(e \cdot d) \bmod \phi(n) = 1$ bzw. $e \cdot d = r \cdot \phi(n) + 1$. Beispiel: $p = 5$, $q = 13$, $e = 11 \Rightarrow n = 65$, $\phi = 48$, $11 \cdot d = 8 \cdot 48 + 1 = 385 \Rightarrow d = 35$.

$c = m^e \bmod n$, $m = c^d \bmod n$ mit $m < n$. Beispiel: $m = 9$, $(n, e) = (65, 11)$: $c = 9^{11} \bmod 65 = 29$; $m = 29^{35} \bmod 65 = 9$.

Beispiel: $p = 3$, $q = 17 \Rightarrow n = 51$, $\phi = 2 \cdot 16 = 32$; $e = 3$ (ggT$(3,32) = 1$) $\Rightarrow d = 11$ ($3 \cdot 11 = 33 \equiv 1 \bmod 32$); alternativ $e = 5 \Rightarrow d = 13$ ($65 \equiv 1 \bmod 32$).

ASCII-Dezimalziffern in Blöcke $m < n$ zerlegen, jeweils $c = m^e \bmod n$. Beispiel: $(n, e) = (3337, 19)$; MANFRED $= 77\,65\,78\,70\,82\,69\,68 \rightarrow 776, 578, 708, 269, 680$ (Block mit 0 aufgefüllt) $\Rightarrow c = 298, 2433, 2603, 2516, 1028$.

Euklid: solange $b \ne 0$: $h = a \bmod b$, $a = b$, $b = h$; Ergebnis $a = \text{ggT}$. Erweitert: löst $e \cdot d - r \cdot \phi(n) = \text{ggT}(e, \phi(n)) = 1$. Beispiel: $\text{ggT}(48, 11)$: $48 \bmod 11 = 4$, $11 \bmod 4 = 3$, $4 \bmod 3 = 1$, $3 \bmod 1 = 0 \Rightarrow 1$; $11 \cdot 35 - 8 \cdot 48 = 385 - 384 = 1 \Rightarrow d = 35$.

$\text{Signatur} = E_{\text{priv}}(H(m))$; Prüfung: $D_{\text{pub}}(\text{Signatur}) \overset{?}{=} H(m)$. Beispiel: Nachricht $m$ mit $H(m)$ = 160 Bit (SHA-1) wird signiert, nicht die ganze Nachricht.

$\text{MAC} = h(K_A, m)$ mit geheimem gemeinsamem Schlüssel $K_A$. Beispiel: Sender sendet $(m, h(K_A, m))$; Empfänger berechnet den MAC neu und vergleicht; ein Angreifer ohne $K_A$ kann keinen gültigen MAC erzeugen.

$r = f_k(z)$, Netz prüft $r' = f_k(z) \overset{?}{=} r$. Beispiel: Netz sendet Zufallszahl $z$, Terminal antwortet $r = f_k(z)$; $k$ wird nie übertragen, da $z$ jedes Mal neu ist, ist kein Replay möglich.

$\text{SRES} = \text{A3}(\text{RAND}, K_i)$ (32 Bit) und $K_c = \text{A8}(\text{RAND}, K_i)$ (64 Bit, davon real 54 Bit, da 10 Bit genullt). Beispiel: RAND $= 128$ Bit, $K_i = 128$ Bit $\Rightarrow$ SIM sendet 32-Bit-SRES, Netz vergleicht.

$\text{AV} = (\text{RAND}, \text{XRES}, \text{CK}, \text{IK}, \text{AUTN})$. Beispiel: USIM prüft zuerst den MAC in AUTN (Netz wird authentisiert), nur dann sendet sie RES; CK und IK haben je 128 Bit.

$2^{24} = 16\,777\,216$ mögliche IVs. Beispiel: bei $1000$ Paketen/s wiederholt sich spätestens nach $\approx 16777\,\text{s} \approx 4{,}7\,\text{h}$ ein IV (und damit der RC4-Schlüsselstrom).

$\text{Hex-Zeichen} = \frac{\text{Bitlänge}}{4}$, Bytes $= \frac{\text{Bitlänge}}{8}$. Beispiel: SHA-1 $160\,\text{Bit} = 20\,\text{Byte} = 40$ Hex-Zeichen; SHA-256 $= 32\,\text{Byte} = 64$ Hex-Zeichen.

AES/MAC 128 Bit, RSA/DH 3000 Bit, ECC (ECDH/ECDSA) 250 Bit. Beispiel: ECC mit 250 Bit entspricht etwa dem Sicherheitsniveau von 3000-Bit-RSA (Faktor 12 kürzer).

$20$ bis $60\,\text{Byte}$, $\text{Headerlänge} = \text{IHL} \cdot 4\,\text{Byte}$. Beispiel: $\text{IHL} = 5 \Rightarrow 20\,\text{Byte}$; $\text{IHL} = 8 \Rightarrow 32\,\text{Byte}$ (12 Byte Optionen).

DF=1: nicht fragmentieren; MF=1: weitere Fragmente folgen, MF=0: letztes/einziges Fragment. Beispiel: 3 Fragmente $\Rightarrow$ MF = 1, 1, 0.

Feste $40\,\text{Byte}$, 8 Felder, keine Prüfsumme, Fragmentierung nur durch den Sender. Beispiel: $2 \cdot 16\,\text{Byte}$ Adressen $= 32\,\text{Byte}$ plus $8\,\text{Byte}$ übrige Felder $= 40\,\text{Byte}$.

$\text{ICMP} = 0\text{x}01$, $\text{TCP} = 0\text{x}06$, $\text{UDP} = 0\text{x}11$. Beispiel: $0\text{x}11 = 17_{10} \Rightarrow$ UDP.