Matrisoperationer

Mängden av alla linjärkombinationer av kolonnmatriserna $A_1, ..., A_n$ för matrisen A.

Maximalt antal linjärt oberoende kolonnmatriser bland $A_1, ..., A_n$.

Mängden av alla lösningar $\mathbb{X}$ till det homogena ekvationssystemet $A \mathbb{X} = 0$.

Maximala antalet linjärt oberoende lösningar till $A \mathbb{X} = 0$.

Först har man det homogena systemet $A \mathbb{X} = 0$. Detta reduceras till en trappekvivalent matris (G) genom Gauss. el. Lemma 5 säger sedan att kolonnvektorerna i A är linjärt oberoende omm detsamma gäller för G alltså rang A = rang G. Om A och G har samma nollrum är även nolldimensionen för de båda densamma.

Man formulerar ett ekvationssystem. Om resultatet blir något annat än den triviala lösningen 0 så är de linjärt beroende.

Som "storleken" av kolonnrummet.

Kolonnrummet, för alla A, utgörs av alla högerled Y för vilket ekvationssystemet AX = Y är lösbart.

Om VA = I är V vänster invers. Om AH = I är H höger invers.

Om A har V.I har ekvationssystemet AX = 0 endast den triviala lösningen X=0.

Om systemet AX = Y är lösbart för varje Y.

Om A antingen har vänsterinvers (implicerar högerinvers) sägs A vara inverterbar.

$\text{A är inverterbar} \Leftrightarrow A^T \space \text{är inverterbar} \Leftrightarrow A^T:s \space \text{kolonnvektorer utgör en bas.}$

$det(a) \ne 0 \space \text{för att den ska vara inverterbar}.$

Att $Q^T = Q^{-1}$ detta medför också: $Q^TQ=QQ^T=I$

A:s kolonner måste vara linjärt oberoende.