Calcul matriciel

Mn,p(K) est une matrice avec n ligne et P colonne dans K(soit R soit C), 0n,p est la matrice nulle
-matrice carrée (n=p)
-matrice ligne (n=1)
-matrice colonne (p=1)

-Multiplication par une constante
-Addition de matrice de même taille
-Produit de matrice si A a autant de ligne que B a de colonne

Il n'est pas commutatif AB≠BA
On peux avoir un produit de matrice nul malgré que les matrices soit non nulles

1) matrice diagonale si les éléments hors de la diagonale sont nuls
2) matrice triangulaire supérieure si les éléments au dessous de la diagonale sont nuls
3) matrice diagonale inférieur si les éléments au dessus de la diagonale sont nuls

Si A et B sont des matrices carrées de même taille alors AB et BA existent
On note la matrice unité : In

Elle existe ssi les matrices sont carrées (n=p)
A^0=In
Pour tout k E N: A^k+1=A^k*A

Si A et B sont de même taille et que AB=BA alors:
(A+B)ⁿ=Σ(nk) A^k B^n-k

Il faut que n de A = p de B et inversement
Pour que AB=BA, il faut que n=p

Il existe l'inverse de A si il existe une matrice B telle que AB=In et BA=In
Il n'y en as qu'une et de note A^-1

1) On pose X(x, y, z) et Y(a, b, c) telle que AX=Y, on pose un système et on le résout
Si il y'a une seule solution alors A est inversible
2) On écrit (A|In), puis on échelonne et on transforme A en In, le In transformé est l'inverse de A

A est inversible, rg(A) = n

GLn(R) = ensemble de matrice inversible
(AB)^-1=B^-1*A^-1