Espaces vectoriels en dimension finie

S'il existe une famille génératrice de E avec un nombre fini de vecteur alors E est un espace vectoriel en dimension finie

Soit E un espace vectoriel de dimension finie
Notons (e1,e2,...,en) une famille génératrice de E
On peux extraire une base de cette famille (eφ1,eφ2,...,eφn)
Vecteur choisis parmi (e1,e2,...,en)

Soit E un espace vectoriel de dimension finie
Notons (e1,e2,...,en) une famille génératrice de E
On dispose d'une famille libre (v1,v2,...,vn)
Alors on peux compléter cette famille avec (e1,e2,...,en)

Soit E un espace vectoriel de dimension finie
E admet une base et toutes les bases doivent avoir le même nombre de vecteur
Ce nombre est la dimension de l'espace vectoriel, noté dim

dim K^n=n
dim Mn,p(K)=n*p
dim Kn[X]=n+1

Soit E un espace vectoriel de dimension n
1) Si une famille de vecteur de E est libre et formée de n vecteur alors c'est une base de E
2) Si une famille de vecteur de E est génératrice et formée de n vecteur alors c'est une base de E

Soit E un espace vectoriel de dimension finie
1) Si F est sev de E alors dim(F)<dim(E)
2) Si dim(F)=dim(E) alors F=E

Soit E un espace vectoriel de dimension finie
Soient F et G supplémentaire dans E: E=F⊕G
Si (f1,f2,...,fp) une base de F
Si (g1,g2,...,gn) une base de G
Alors la concaténation (f1,f2,...,fp,g1,g2,...,gn) est une base de E
Sa dimension est alors dim(E)=dim(F)+dim(G)

Soit F et G 2 sev de E où E est de dimension finie
On a alors:
1) F+G est de dimension finie
2) dim(F+G)=dim(F)+dim(G)-dim(F∩G)

Soit E un espace vectoriel de dimension finie connue
Soient F et G 2 sev de E
Si F∩G={0E} et si dim(F)+dim(G)=dim(E)
Alors F et G sont supplémentaires