Suites

On calcule $u_{n+1}-u_n$ et on étudie le signe du résultat

On montre que pour tout entier $n$, $u_{n+1}=q\times u_n$
Pour trouver $q$, on calcule les premiers termes à la calculatrice

$u_n=u_0 \times q^n$

$u_n=u_1 \times q^{n-1}$

Pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tout entier naturel $n$
Attention, un seul raisonnement par récurrence dans un exercice bac

Initialisation : on montre que la propriété est vraie au rang initial $n_0$(on lit attentivement l'énoncé pour savoir si c'est 0; 1 ...)
Hérédité : on suppose que la propriété est vraie pour un certain entier naturel $n \geq n_0$ et on montre que la propriété est vraie pour $n+1$
Conclusion : la propriété est vraie pour tout entier $n$

On détaille bien les étapes! Il faut être prudent avec les inégalités!
On a $0<u_n<3$ donc $-3<-u_n<0$ donc $3<6-u_n<6$
On applique la fonction inverse décroissante sur $]0;+\infty[$ d'où $\dfrac{1}{3}>\dfrac{1}{6-u_n}>\dfrac{1}{6}$
Puis on multiplie par 9>0,
donc $\dfrac{9}{3}>\dfrac{9}{6-u_n}>\dfrac{9}{6}$, c'est-à-dire $\dfrac{3}{2}<u_{n+1}<\dfrac{9}{3}$
On en déduit que $0<u_{n+1}<3$

nbre termes $\times \dfrac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}$

premier terme $\times \dfrac{1-q^{\text{nbre termes}}}{1-q}$

si $q<0$ la suite n'est pas montone

Si $ 0<q<1$ et $u_0<0$ la suite est croissante
Si $ 0<q<1$ et $u_0>0$ la suite est décroissante

Si $q=1$ la suite est constante

Si $q>1$ et $u_0>0$ la suite est croissante
Si $q>1$ et $u_0<0$ la suite est décroissante